Алгебра, 8 клас.
Вивчення теми «Множини і операції над ними» на початку курсу дозволяє у подальшому ефективно використовувати символіку і понятійний апарат теорії множин. Так, під час вивчення тем «Рівносильні рівняння», «Рівняння-наслідок», «Розв’язування систем і сукупностей рівнянь і нерівностей» широко використовуються операції над множинами. Важливе місце у цій темі займає поняття «взаємно однозначна відповідність між елементами множин». Успішне засвоєння цього матеріалу закладає підґрунтя для вивчення понять, у яких істотну роль відіграють бієктивні відображення. Принципово новими для учнів є властивості нескінченних множин, зокрема, рівнопотужність множини та її власної підмножини, зліченність множин та доведення зліченності множини цілих чисел.
Під час вивчення теми «Раціональні вирази» формуються навички тотожних перетворень раціональних виразів. Також у цій темі розглядаються такі важливі поняття, як рівносильні рівняння, рівняння – наслідок даного, рівняння з параметрами. Слід зазначити, що в програмі загальноосвітньої школи ці відомості подаються побіжно; тоді як у класах з поглибленим вивченням математики цьому навчальному матеріалу приділяється належна увага як важливій складовій математичної освіти. Докладний розгляд понять «рівносильні рівняння», «рівняння – наслідок даного» сприяє виробленню в учнів навичок уважного ставлення до можливого розширення чи звуження множини розв’язків рівнянь (нерівностей), потреби аналізу джерел появи сторонніх коренів і відстеження тих перетворень, які порушують рівносильність. Рівняння з параметрами дають змогу сформувати в учнів поняття про те, яким чином значення параметру впливає на множину розв’язків рівняння; навички виокремлення і групування конкретних значень параметра або проміжків його значень відповідно до того, до якого виду зводиться задане рівняння при цих значеннях параметра. У цій темі продовжується знайомство з графічними методами розв’язування рівнянь. Учні мають розуміти, що суто графічні методи дають наближені результати і потребують перевірки. Тому наголошується, що доцільність використання графічних методів полягає не стільки в отриманні розв’язків рівняння, скільки в наочному зображенні властивостей функцій і рівнянь, які дозволяють за графічними зображеннями зробити висновок щодо їх застосування для розв’язування рівнянь і нерівностей. Тому значна кількість вправ має бути спрямована на вивчення графічних зображень рівнянь першого і другого степеня, їх властивостей і використання цих властивостей для розв’язування рівнянь.
Тема «Основи теорії подільності» є найскладнішою для вивчення у восьмому класі, оскільки в учнів ще не сформована потреба використання знань у цій області для розв’язування задач. Ця тема – одна з тих, де найбільше проявляється здатність учнів до евристичного мислення, а отже, й до вивчення математики на поглибленому рівні. Під час вивчення цієї теми відбувається знайомство з класичними ключовими поняттями теорії чисел (формулюється і доводиться основна теорема арифметики, формується поняття про розбиття множини натуральних чисел на класи еквівалентності за заданим модулем, детально розглядаються поняття, пов’язані з простими числами тощо), узагальнення і розширення знань з теорії подільності, отриманих у попередніх класах, формування в учнів переконання в практичній застосовності теорії чисел шляхом розширення математичного світогляду, ознайомлення з історією теорії чисел, дослідженнями в цій галузі (роботи П. Ферма, М. Мерсенна, історія досліджень простих чисел тощо). Підкріплення значущості зазначеного теоретичного матеріалу відбувається шляхом його застосування до визначення подільності чисел (формулювання і доведення ознак подільності) і розв’язування цілих раціональних рівнянь (зокрема з використанням теореми Безу). Для емоційного підкріплення інтересу до матеріалу доцільно використовувати історичні відомості щодо дослідження проблем простих чисел, чисел-близнюків, досконалих чисел тощо. Встановленню міжпредметних зв’язків сприяє розгляд таблиць простих чисел, що може бути завданням для опрацювання на уроках інформатики.
Програмою передбачено вивчення теми «Нерівності» у 8 класі, тоді як у загальноосвітній школі ця тема розглядається у 9 класі. Такий підхід дозволяє під час вивчення властивості квадратного кореня, розв’язування рівнянь з модулем, побудови графіків функцій звернути увагу учнів на необхідність враховувати множину допустимих значень змінних, які входять до рівнянь, а також відслідковувати перетворення, які можуть вплинути на множину допустимих значень змінних (розширити чи звузити її) у ході розв’язування рівнянь. Зазначене дозволяє суттєво урізноманітнити зміст завдань. На відміну від загальноосвітніх класів, вивчення теми «Нерівності» багато в чому спирається на апарат теорії множин, зокрема розв’язки записуються з використанням символіки теорії множин.
Тема «Квадратні корені. Дійсні числа» за обсягом теоретичного матеріалу дещо розширює програму для загальноосвітніх класів. Важливим тут є введення поняття ірраціонального числа. Обґрунтовується необхідність розширення числової множини через показ неможливості виконання нових операцій в межах тих числових множин, що вивчені раніше. При вивченні цієї теми доцільно розглянути приклади побудови ірраціональних чисел, довести зліченність множини раціональних чисел, після чого на прикладі множини дійсних чисел ввести поняття незліченної множини. Навчальний матеріал теми спрямовано також на формування навичок перетворення (спрощення) виразів, які містять квадратні корені.
Зміст теми «Квадратні рівняння» є досить традиційним: розглядаються формули коренів квадратного рівняння, теорема Вієта, неповні квадратні рівняння, біквадратні рівняння. Проте в класах з поглибленим вивченням математики не можна обмежуватися виробленням лише навичок алгоритмічного застосування зазначених теоретичних відомостей і формул. Значну увагу треба приділити зведенню рівнянь вищих степенів до квадратних, біквадратних, неповних квадратних і лінійних рівнянь, де провідними є методи заміни змінної і розкладання на множники. Ці методи не є формально алгоритмізованими, тому при вивченні цієї теми з використанням численних прикладів і широкого дидактичного матеріалу в учнів мають бути сформовані певні дослідницькі навички та інтуїція, яка дозволяє побачити «вигідний» спосіб розв’язування рівняння. Значне місце відводиться рівнянням з параметрами.
Алгебра, 9 клас.
Тема «Доведення нерівностей» є продовженням і розширенням змісту відповідної теми восьмого класу. Проте у восьмому класі метою вивчення було набуття навичок розв’язування нерівностей, а в дев’ятому класі — їх доведення. Вводяться кілька основних методів доведення нерівностей. Робота над цією темою формує в учнів евристичне мислення, навички аналізу і математичну інтуїцію.
Тема «Квадратична функція» займає провідне місце в курсі алгебри. Властивості квадратичної функції використовуються під час розв’язування широкого кола задач, рівнянь, нерівностей, застосування їх в курсі геометрії тощо. В арсеналі шкільної математики накопичено велику кількість задач, розв’язування яких ґрунтується на властивостях квадратичної функції. Це стосується задач як алгоритмічного характеру, так і дослідницького, провідну роль серед останніх займають задачі з параметрами. Значну увагу слід приділяти встановленню відповідності між властивостями квадратичної функції та її графічним зображенням. Вагомим елементом математичної культури є застосування графічних методів та інтерпретацій у розв’язуванні задач з параметрами.
Тема «Системи рівнянь і нерівностей» традиційно спрямована на нарощування арсеналу прийомів, які використовуються учнями для розв’язування задач. Природно, що в класах з поглибленим вивченням математики зростає як кількість методів і прийомів, так і їх складність. Проте важливо не тільки сформувати конкретні навички розв’язування, але й продовжити формування математичної культури учнів щодо таких понять, як рівносильність систем рівнянь і нерівностей, система, що є наслідком даної. Невід’ємною частиною засвоєного учнями математичного апарату має стати обґрунтування правомірності перетворень під час розв’язування систем, відстеження рівносильності або навпаки, звуження чи розширення множини розв’язків.
Тема «Елементи прикладної математики» ілюструє практичне застосування теоретичного матеріалу курсу математики в різних сферах реального життя. Практичну значущість цієї теми мають усвідомити в першу чергу учні, орієнтовані на подальшу фахову діяльність в галузях, де математика відіграє прикладну роль: інформатиці, техніці тощо, що має стати емоційним підкріпленням для поглибленого вивчення курсу математики. Математичні моделі, що вивчаються, мають бути побудовані на матеріалі з практичних життєвих ситуацій, що сприятиме кращому засвоєнню запропонованого математичного апарату. Продовжується вивчення на формальній основі елементів теорії ймовірностей, яке було розпочато в шостому класі. Необхідним підґрунтям для цього є вивчення елементів комбінаторики. У цій темі важливою є інтерпретація запропонованих імовірнісних і статистичних характеристик, їх тлумачення в практичному плані. Слід зауважити, що навчальний матеріал, пов’язаний з елементами комбінаторики, початками теорії ймовірностей та елементами статистики, зазвичай є складним для сприймання. Тому дуже важливим є розгляд достатньої кількості прикладів, а також історичних відомостей із становлення теорії ймовірностей (задача Д’Аламбера, дослідження Б.Паскаля), в яких належну увагу слід приділити коректному формулюванню опису окремих результатів і, як наслідок, – правильному обчисленню загальної кількості результатів і кількості сприятливих подій.
У процесі вивчення теми «Послідовності» важливо сформувати правильне уявлення про послідовність як функцію натурального аргументу, а також виробити вміння застосовувати метод математичної індукції. Уявлення про границю послідовності і обчислення суми нескінченної геометричної прогресії є пропедевтичною базою для подальшого вивчення курсу математичного аналізу.
|